Un problema interesante con sistemas de ecuaciones

Este problema lo tomé del libro Mathematical Olympiad Challenges de Titu Andreescu y Razvan Gelca.

No es demasiado difícil, pero resolverlo requiere cierto ingenio. Se trabaja con un sistema de ecuaciones, sin embargo la idea no es resolverlo aunque esto es posible. Trabajando con el programa Derive obtuve la solución del sistema en 55.6 segundos. Para quienes conocen el programa se darán cuenta que es mucho tiempo. Además las soluciones obtenidas son algo engorrosas hallar lo que se pide en el ejercicio. A modo de ejemplo (hay dos cuaternas solución):

\[x=-\sqrt{87}-7, y=\sqrt{87}-7, \\a=\dfrac{49}{76}-\dfrac{457\sqrt{87}}{6612}, b=\dfrac{49}{76}+\dfrac{457\sqrt{87}}{6612} \]

Un proceso alternativo, que evita resolver el sistema permite trabajar con números más simples.

Como lo importante es el proceso, no me molesta adelantar que la respuesta es \(20\).

Aquí la propuesta:

Halle \(ax^5+by^5\) si los números reales \(a, b, x, y\) satisfacen el sistema de ecuaciones

\[ax+by=3,\\ax^2+by^2=7,\\ax^3+by^3=16,\\ax^4+by^4=42.\]

A buscar la forma de obtener la respuesta. Adelante!!!

Parciales y clases de apoyo. Bauzá nocturno

MB 5º C - Apoyo: martes 30 de julio - 21:30.
               - Parcial: jueves 1 de agosto - 20:00.

MB 6ºE - Apoyo: miércoles 31 de julio - 21:30
              - Parcial: viernes 2 de agosto - 20:00.

¿Qué es el cálculo?

Divisibilidad

Calcule el resto de dividir el número \(1!+2!+3!+\cdots+2013!\) entre \(400\).

Polinomios

Sabiendo que \(x^2-3x+5=0\) halle el valor de la expresión \(x^4-6x^3+9x^2-7\).

Problemas

Una sucesión \((a_n)\) verifica para todo \(n\geq{1}\) la relación \[a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n=2^{n}n!.\] Halle, en función de \(n\), la suma \[a_1+a_2+\cdots+a_n.\]

Problemas

Muestre que existe un número real \(m\) tal que \[\sin^6(x)+\cos^6(x)+m(\sin^4(x)+\cos^4(x))\] es constante al variar \(x\in\mathbb{R}\), y halle el valor de dicha constante.
Solución

Problemas

¿Cuántas soluciones en \(\mathbb{R}\) tiene la ecuación: \[\log_4 x+\log_{10} (5-x)=1?\] Halle las soluciones enteras.

Problemas

El cateto menor de un triángulo rectángulo, de lados enteros, mide 2001 cm. ¿Qué tan corto puede ser el otro cateto?

Colección de Problemas

Sabiendo que \(\cos36\text{º}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\), calcule \(\left(\tan^{2}18\text{º}\right)\left(\tan^{2}54\text{º}\right)\).

Colección de problemas

Sea \(P_n (x) \) un polinomio de grado \(n\) tal que \(P_n (\xi)=\dfrac{1}{\xi} \) para \(\xi=1, 2, 4, \ldots, 2^n\). Halle \[\lim_{n\to\infty}{P_n(0)}\]

Ecuaciones Diofánticas

Resolución online de una ecuación diofántica del tipo \(ax + by = c\)

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/linear.html

Matemática en verano, ¿por qué no?

El 11 de enero se celebró en el País Vasco la olimpiada de Matemática organizada por la UPV. La noticia me llevó a informarme acerca de la preparación que reciben los estudiantes para esta competencia y así encontré material del que extraje y adapté algunos ejercicios para compartir con los lectores del Blog.

1. Sean \({a_1},\;{a_2}, \ldots ,\;{a_{2013}}\) los primeros \(2013\)  enteros positivos ordenados de algún modo desconocido. Determínese si el número \[\left( {{a_1} - 1} \right)\left( {{a_2} - 2} \right) \cdots \left( {{a_{2013}} - 2013} \right)\] es par o impar.
2. Una compañía compró cierto número de reliquias falsas a \(17\) euros cada una y vendió algunas de ellas a \(49\) euros cada una. Si la cantidad comprada originalmente es mayor que \(50\) y menor que \(100\) y la compañía obtuvo una ganancia de \(245\) euros. ¿Cuántas reliquias faltan por vender?
3. Halle todas las funciones \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) tales que \(f(f(n))=n+2  \forall n \in \mathbb{N} \) .

Con este tipo de ejercicios, los estudiantes del \(2^{do}\) año de Bachillerato podrían hacer una profundización de los temas tratados en nuestro curso.